在无穷大的极限
你应该先去看 极限（入门）
无穷大 是个非常特别的概念。我们知道不能达到无穷大，但我们可以尝试去求含有无穷大的函数的值。
一除以无穷大
我们先看一个有趣的例子。
问题：
1
∞
的值是多少？
答案：不知道！
为什么不知道？
最简单的答案是：无穷大不是个数，它是个概念。
所以
1
∞
就好像
1
美
或
1
高
一样。
我们也许可以说
1
∞
= 0 …… 但这样也不对，因为如果我们把 1 切开成无穷多的部分而每个部分都是 0，那么整体怎么会是 1 呢？
其实
1
∞
是 未定义的。
但我们可以趋近它！
我们无法计算在无穷大的值（因为得不到合理的答案），我们尝试用越来越大的 x值：
x
1
x
1
1.00000
2
0.50000
4
0.25000
10
0.10000
100
0.01000
1,000
0.00100
10,000
0.00010
当 x 越来越大时，
1
x
越来越接近 0
这很有意思：
我们不能说"当" x 是无穷大时的情形是什么
但我们可以看到
1
x
趋近 0
我们想说答案是 "0"，但我们不可以，所以数学家用特定名词 "极限" 来表达这种情形：
当 x 趋近无穷大时，
1
x
的 极限 是 0
写下来是
换句话说：
换句话说：
1
x
趋近 0
当你看到 "极限" 时，想："趋近"
用数学的语言来说："我们不是说在 x=∞，但我们知道当 x 越来越大时，答案便越来越接近 0"。
总结
所以，有时我们不能直接用无穷大，但是我们可以用极限。
在 ∞ 的情形是 未定义的 ……
1
x
…… 但我们知道当 x 趋近无穷大时，1/x 趋近 0
趋近无穷大时的极限
当 x 趋近无穷大时，这个函数的极限是什么？
y = 2x
若 "x" 越来越大，"2x" 也越来越大：
x
y=2x
1
2
2
4
4
8
10
20
100
200
...
...
所以当 "x" 趋近无穷大时，"2x" 也趋近无穷大。我们这样写：
不要被这个 "="号迷惑了！我们其实无法达到无穷大，但在 "极限" 的语言里，极限是无穷大 （意思其实是函数没有极限）。
无穷大和次数
上面我们分析了两个例子，一个趋近 0，另一个趋近无穷大。
实际上，很多无穷大的极限是很容易求的，只要我们知道函数的 "走势"，像这样
当 x 趋近无穷大时,像 1/x 的函数趋近 0 。像 /x2 等的函数也一样
像 x 的函数会趋近无穷大，2x 或 x/9 等函数也一样。同样，含有 x2 或 x3 等的函数也会趋近无穷大。
但要小心，函数 "−x" 趋近 "负无穷大"，所以我们要留意 x 的正负号。
例子： 2x2−5x
2x2 趋近 +无穷大
−5x 趋近 −无穷大
但 x2 增加得比 x 快，所以 2x2−5x 会趋近 +无穷大
如果我们留意函数的 次数 （函数里最高的 指数），我们便可以知道答案：
如果函数的次数是：
大于 0，极限是无穷大（或 −无穷大）
小于 0，极限是0
但是，如果次数是 0 或未知值，情形便会复杂一点。
有理函数
有理函数 是两个多项式的比：
例如，在这里 P(x) = x3 + 2x − 1， Q(x) = 6x2：
根据上面 方程的次数 概念，求极限的第一步是……
比较 P(x) 和 Q(x) 的次数：
如果 P 的次数小于 Q 的次数……
……极限是 0。
如果 P 的次数等于 Q 的次数……
……用最高指数的项的系数相除，像这样：
（注意因为次数是相同的，所以最大的指数也是相同的。）
如果 P 的次数大于 Q 的次数……
……极限是正无穷大……
……或负无穷大。不要忘了看正负号！
要确定极限是正还是负，我们看有最大指数的项的正负号，好像在上面找系数一样：
例如，这个会趋近正无穷大，因为……
x3 （上面有最大指数的项） 和
6x2 （下面有最大指数的项）
……都有正号。
但这个函数的极限是负无穷大，因为 −2/5 是负数。
比较难的例子：求 "e"
有一个 e （欧拉数） 的公式是基于无穷大和这个公式的：
(1+ 1/n)n
在无穷大：
(1+1/∞)∞ = ??? …… 不知道！
所以我们不求"在"的值，我们尝试用越来越大的 n值：
n
(1 + 1/n)n
1
2.00000
2
2.25000
5
2.48832
10
2.59374
100
2.70481
1,000
2.71692
10,000
2.71815
100,000
2.71827
结果趋近 2.71828...，这就是 e （欧拉数） 的值。
我们又看到这个现象了：
我们不知道函数在 n=无穷大 的值
但我们看到结果趋近 2.71828……
因此，我们用极限来表达答案：
用数学的语言来说："我们不是说当 n=∞，但我们知道当 n 越来越大时，答案便越来越接近 e" 的值。
不要犯错 …… !
在图和列列表上我们看到当 n 越来越大时，函数趋近 2.71828……
但如果我们想把无穷大当作一个 "很大的实数" （它不是！），我们会得到：
(1+1/∞)∞ = (1+0)∞ = (1)∞ = 1 （大错特错！）
故事的寓意是：不要把无穷大当作一个实数：你会得到错误的答案！
极限才是正途。
极限求值
我在这里比较随和地解释了极限，也使用了图和列表来做示范。
但计算极限的值（"求值"）就没有那么简单了，你可以去 极限求值 了解更多。
极限（入门） 微积分索引